(A) Standard deviation
(B) Z-score
(C) Mean deviation
(D) Variance
রিলেটিভ মেজার অফ ডিসপারশন হলো ডেটার আপেক্ষিক বিচ্ছুরণ পরিমাপ, যা ভিন্ন ইউনিট বা স্কেলের ডেটার মধ্যে তুলনা করা যায়। এদের কোনো ইউনিট নেই (unitless)।
প্রশ্নের অপশন বিশ্লেষণ:
- (A) স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন: ডেটার বিচ্ছুরণের পরম পরিমাপ (absolute measure)। ইউনিট আছে (যেমন: cm, kg)।
- (B) Z-স্কোর: আপেক্ষিক পরিমাপ (relative measure)। এটি ইউনিটহীন।
- (C) মিন ডেভিয়েশন: পরম পরিমাপ (ইউনিট আছে)।
- (D) ভেরিয়েন্স: পরম পরিমাপ (ইউনিটের বর্গ, যেমন: cm²)।
Z-স্কোর কেন “রিলেটিভ মেজার”?
- সূত্র: ( Z = \frac{X – \mu}{\sigma} )
- ( X ) = ডেটা পয়েন্ট,
- ( \mu ) = গড়,
- ( \sigma ) = স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন।
- ব্যাখ্যা:
এটি বলে, একটি ডেটা পয়েন্ট গড় থেকে কতগুলো স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন দূরে আছে।
উদাহরণ: - বাংলা পরীক্ষায় রিনার নম্বর = ৮০ (গড় = ৬০, σ = ১০) → ( Z = \frac{80-60}{10} = ২ )
- ইংরেজিতে তার নম্বর = ৭০ (গড় = ৫০, σ = ৫) → ( Z = \frac{70-50}{5} = ৪ )
- তুলনা: ইংরেজিতে Z-স্কোর বেশি → বাংলার চেয়ে ইংরেজিতে সে আপেক্ষিকভাবে ভালো করেছে।
কেন বাকি অপশনগুলো রিলেটিভ নয়?
পরিমাপ সমস্যা উদাহরণ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন ইউনিট আছে (cm, kg) উচ্চতার σ = ১০ cm, ওজনের σ = ৫ kg → কে বেশি বিচ্ছুরিত? বলতে পারব না। মিন ডেভিয়েশন ইউনিট আছে একই সমস্যা। ভেরিয়েন্স ইউনিটের বর্গ আছে (cm², kg²) σ² = ১০০ cm² vs σ² = ২৫ kg² → তুলনা অর্থহীন।
সংক্ষেপে:
- Z-স্কোর ইউনিটহীন → ভিন্ন ডেটাসেটের বিচ্ছুরণ সরাসরি তুলনা যায়।
- বাকিগুলো পরম পরিমাপ → শুধু একই ডেটাসেটের মধ্যে ব্যবহার্য।
✅ সঠিক উত্তর: (B) Z-স্কোর
১. “ডিসপারশন” (বিচ্ছুরণ) মানে কি?
- ডেটার ছড়ানো-ছিটানো অবস্থা বোঝায়।
- যেমন:
- ক্লাসে সবাই ৭০-৮০ নম্বর পেলে → কম বিচ্ছুরণ (একইরকম)।
- কেউ ৩০, কেউ ৯০ পেলে → বেশি বিচ্ছুরণ (অনেক ছড়ানো)।
২. পরম পরিমাপ vs আপেক্ষিক পরিমাপ:
পরম পরিমাপ (Absolute) : শুধু একই ইউনিটের ডেটা তুলনা যায়, ইউনিট আছে (cm, kg, টাকা)।। ও আপেক্ষিক পরিমাপ (Relative) ভিন্ন ইউনিটের ডেটাও তুলনা যায়। এবং এর ইউনিট নেই (শুধু সংখ্যা)!
উদাহরণ:
- পরম পরিমাপ → “রাহুলের উচ্চতা ১৭০ cm, রিতার ১৬০ cm → পার্থক্য ১০ cm।”
- আপেক্ষিক পরিমাপ → “রাহুলের ওজন ৬০ kg (গড় ৫০ kg), উচ্চতা ১৭০ cm (গড় ১৬০ cm) → ওজন ও উচ্চতা কোন্টা গড় থেকে বেশি দূরে?” (Z-score দিয়ে বের করা যায়!)
৩. Z-score কেন “আপেক্ষিক পরিমাপ”?
- সূত্র:
Z = (ডেটা - গড়) ÷ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন - এটি বলে: ডেটাটি গড় থেকে কত দূরে আছে — কিন্তু দূরত্বটা cm/kg-এ না, স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের এককে!
- যেমন:
- বাংলায় রেজাল্ট:
- গড় = ৬০, স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন = ১০
- তুমি পেয়েছ ৮০ →
Z = (৮০ - ৬০) ÷ ১০ = ২
- ইংরেজিতে রেজাল্ট:
- গড় = ৫০, স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন = ৫
- তুমি পেয়েছ ৭০ →
Z = (৭০ - ৫০) ÷ ৫ = ৪
ব্যাখ্যা:
- বাংলায় Z-score = ২ → মানে তুমি গড় থেকে ২ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন উপরে।
- ইংরেজিতে Z-score = ৪ → গড় থেকে ৪ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন উপরে।
- তুলনা: ইংরেজিতে Z-score বেশি → তাই ইংরেজিতে তুমি আপেক্ষিকভাবে বেশি ভালো! ✅
সমস্যা: স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন উচ্চতার σ = ১০ cm, ওজনের σ = ৫ kg → কে বেশি? বলতে পারবে না! মিন ডেভিয়েশন একই সমস্যা (ইউনিট আলাদা!) ভেরিয়েন্স ইউনিটের বর্গ (cm², kg²) → আরও ঝামেলা!
🧠 মনে রাখার ট্রিক:
- Z-score = “গড় থেকে কতগুলো স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন দূরে?” (ইউনিটহীন!)
- এটি দিয়ে ভিন্ন বিষয় (উচ্চতা, ওজন, নম্বর) তুলনা করা যায়।
- বাকিগুলো শুধু একই বিষয়ের ডেটার জন্য (শুধু উচ্চতা, বা শুধু নম্বর)।
আপনার কনফিউশনটা একদম ঠিক জায়গায়! আমি উদাহরণে হঠাৎ করে “গড়” আর “স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন” এর মান বসিয়ে দিয়েছি — এগুলো কোথা থেকে আসে সেটা এখনই step-by-step বোঝাচ্ছি। নিচের ছোট উদাহরণটা দেখুন:
📊 ধরি ৫ জন ছাত্রের বাংলা পরীক্ষার নম্বর:
৬০, ৭০, ৮০, ৫০, ৯০
ধাপ ১: গড় (Mean) বের করা
গড় =
(সব নম্বরের যোগফল) ÷ (ছাত্র সংখ্যা)
=(৬০ + ৭০ + ৮০ + ৫০ + ৯০) ÷ ৫
=৩৫০ ÷ ৫
=৭০
✅ গড় (μ) = ৭০
ধাপ ২: স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (σ) বের করা
a) প্রত্যেক নম্বর থেকে গড় বিয়োগ করুন (বিচ্যুতি):
নম্বর (X) X – μ (গড় ৭০) ৬০ ৬০–৭০ = –১০ ৭০ ৭০–৭০ = ০ ৮০ ৮০–৭০ = ১০ ৫০ ৫০–৭০ = –২০ ৯০ ৯০–৭০ = ২০
b) এবার বিচ্যুতির বর্গ করুন (যাতে (+) হয়):
X – μ (X – μ)² –১০ (–১০)² = ১০০ ০ ০² = ০ ১০ ১০² = ১০০ –২০ (–২০)² = ৪০০ ২০ ২০² = ৪০০
c) বর্গগুলির গড় বের করুন (= ভ্যারিয়েন্স, σ²):
ভ্যারিয়েন্স (σ²) =
(১০০ + ০ + ১০০ + ৪০০ + ৪০০) ÷ ৫=১০০০ ÷ ৫= ২০০d) স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (σ) = √ভ্যারিয়েন্স
σ =
√২০০≈ ১৪.১৪
✅ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (σ) ≈ ১৪.১৪
ধাপ ৩: Z-স্কোর বের করা
এবার কোনো ছাত্রের নম্বরের Z-স্কোর বের করব:
ধরি, রাহুলের নম্বর (X) = ৮০
Z =(X – μ) ÷ σ=(৮০ – ৭০) ÷ ১৪.১৪=১০ ÷ ১৪.১৪≈ ০.৭১অর্থ:
রাহুলের নম্বর গড় থেকে ০.৭১ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন উপরে (Z > ০ মানে গড়ের ওপরে)।
📌 সারাংশ:
- গড় (μ) → ডেটার গড় মান (এখানে ৫ জনের নম্বর যোগ করে ৫ দিয়ে ভাগ)।
- স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (σ) →
- ডেটা কতটা ছড়ানো (এখানে σ ≈ ১৪.১৪ মানে নম্বরগুলো গড় (৭০) থেকে প্রায় ±১৪ পয়েন্ট ছড়ানো)।
- σ যত বেশি = ডেটা তত বেশি ছড়ানো।
- Z-স্কোর →
- এটি ইউনিটহীন সংখ্যা (কোনো স্কেল/ইউনিট ছাড়া!)।
- বলে দেয়: কোনো ডেটা গড় থেকে কত σ দূরে আছে (এখানে রাহুলের Z ≈ ০.৭১)।
🧠 কেন Z-স্কোর “আপেক্ষিক”?
মনে করুন ইংরেজি পরীক্ষায়:
- গড় (μ) = ৬৫, σ = ৫
- রাহুলের নম্বর = ৭৫
তাহলে Z =(৭৫ – ৬৫) ÷ ৫= ২.০এখন তুলনা:
- বাংলায় Z ≈ ০.৭১
- ইংরেজিতে Z = ২.০
সিদ্ধান্ত: রাহুল বাংলার চেয়ে ইংরেজিতে আপেক্ষিকভাবে ভালো করেছে (কারণ ইংরেজিতে সে গড় থেকে ২ σ উপরে, বাংলায় মাত্র ০.৭১ σ উপরে)!✅ Z-স্কোর ছাড়া এই তুলনা অসম্ভব ছিল (কারণ বাংলা ও ইংরেজির নম্বরের স্কেল/ইউনিট ভিন্ন!)।